Совместный семинар ВШМ и лаборатории комбинаторных и геометрических структур ФПМИ «Комбинаторика и топология»
МФТИ — Московский физико-технический институт ·
В последние десятилетия активно разрабатываются и применяются методы алгебраической топологии в комбинаторике. Зачастую и методы, и их применение оказывается чрезвычайно красивыми, увлекательными и неожиданными. В качестве инструментов активно применяется теория препятствий, класс Эйлера, двойственность Александера, теоремы о неподвижных точках. К основным задачам этой области можем отнести вложимость гиперграфов в пространство, обобщения теорем типа Хелли, оценка хроматических чисел графов. Последние годы топологическая комбинаторика находит все большее применение как в теоретической информатике, так и в анализе данных. О курсе Центральными в курсе являются несколько сюжетов. Первый из них посвящён структурам пересечений выпуклых множеств и вложениям гиперграфов в R^d. А именно будут рассмотрены теоремы типа Хелли, Каратеодори, Тверберга и их обобщения. В рамках этого сюжета естественным переплетаются разные красивые конструкции и теоремы из комбинаторики и топологии. Например, возникают матроиды, конфигурационные пространства, характеристические классы расслоений, различные теоремы о нерве, d-коллапсируемые rомплексы, шахматные комплексы и самые разные вариации теоремы Борсука-Улама. В рамках второго сюжета мы обсудим минимальные (по числу вершин и по числу старших граней) триангуляции отображений сфер в заданном классе гомотопии. Для отображений S^n -> S^n заданной степени d известны лишь асимптотические оценки (на число вершин или граней), а также точные значения при малых n или d. Для отображений S^{2n−1} -> S^n с заданным инвариантом Хопфа оценка на минимальное число вершин получена только при n = 2. Для кого Курс рассчитан на студентов 3 курса и старше, активно интересующихся топологической комбинаторикой. Курс будет проходить в формате учебно-научного семинара, что предполагает от участников самостоятельное изучение статей и подготовку докладов по ним. Участникам также бужет предложено поработать над открытыми проблемами. Для понимания курса желательно быть знакомым с базовыми понятиями выпуклой геометрии, теории гиперграфов, топологии и теории гомологий. Однако многие используемые понятия будут подробно обсуждаться по ходу изложения, поэтому мотивированные участники смогут изучить их в течение курса. Преподаватели Рябичев Андрей Дмитриевч, к.ф.-м.н., мнс Лаборатории алгебры, геометрии, логики и теории чисел имени Ю. И. Манина/ Блудов Михаил Васильевич, аспирант кафедры дискретной математики, мнс Лаборатории комбинаторных и геометрических структур. Расписание Курс начинается 12 сентября. Занятия проходят по субботам, 13:55-16:00, АдмК, 322 (учебная аудитория ВШМ). Дополнительная информация Информация по курсу находится в телеграм-чате: https://t.me/+0rwSwRYnyOUxNzEy А также на сайте https://old.mccme.ru/ium/s23/ryabichev/f25-mipt-topkomb.html Можно обращаться к преподавателям курса: Андрей Рябичев: ryabichev@179.ru, https://t.me/ryabichev179 Блудов Михаил: bludov.mv@phystech.edu, michaelbludov@gmail.com, https://t.me/MikhailBludov
В последние десятилетия активно разрабатываются и применяются методы алгебраической топологии в комбинаторике. Зачастую и методы, и их применение оказывается чрезвычайно красивыми, увлекательными и неожиданными. В качестве инструментов активно применяется теория препятствий, класс Эйлера, двойственность Александера, теоремы о неподвижных точках. К основным задачам этой области можем отнести вложимость гиперграфов в пространство, обобщения теорем типа Хелли, оценка хроматических чисел графов. Последние годы топологическая комбинаторика находит все большее применение как в теоретической информатике, так и в анализе данных. О курсе Центральными в курсе являются несколько сюжетов. Первый из них посвящён структурам пересечений выпуклых множеств и вложениям гиперграфов в R^d. А именно будут рассмотрены теоремы типа Хелли, Каратеодори, Тверберга и их обобщения. В рамках этого сюжета естественным переплетаются разные красивые конструкции и теоремы из комбинаторики и топологии. Например, возникают матроиды, конфигурационные пространства, характеристические классы расслоений, различные теоремы о нерве, d-коллапсируемые rомплексы, шахматные комплексы и самые разные вариации теоремы Борсука-Улама. В рамках второго сюжета мы обсудим минимальные (по числу вершин и по числу старших граней) триангуляции отображений сфер в заданном классе гомотопии. Для отображений S^n -> S^n заданной степени d известны лишь асимптотические оценки (на число вершин или граней), а также точные значения при малых n или d. Для отображений S^{2n−1} -> S^n с заданным инвариантом Хопфа оценка на минимальное число вершин получена только при n = 2. Для кого Курс рассчитан на студентов 3 курса и старше, активно интересующихся топологической комбинаторикой. Курс будет проходить в формате учебно-научного семинара, что предполагает от участников самостоятельное изучение статей и подготовку докладов по ним. Участникам также бужет предложено поработать над открытыми проблемами. Для понимания курса желательно быть знакомым с базовыми понятиями выпуклой геометрии, теории гиперграфов, топологии и теории гомологий. Однако многие используемые понятия будут подробно обсуждаться по ходу изложения, поэтому мотивированные участники смогут изучить их в течение курса. Преподаватели Рябичев Андрей Дмитриевч, к.ф.-м.н., мнс Лаборатории алгебры, геометрии, логики и теории чисел имени Ю. И. Манина/ Блудов Михаил Васильевич, аспирант кафедры дискретной математики, мнс Лаборатории комбинаторных и геометрических структур. Расписание Курс начинается 12 сентября. Занятия проходят по субботам, 13:55-16:00, АдмК, 322 (учебная аудитория ВШМ). Дополнительная информация Информация по курсу находится в телеграм-чате: https://t.me/+0rwSwRYnyOUxNzEy А также на сайте https://old.mccme.ru/ium/s23/ryabichev/f25-mipt-topkomb.html Можно обращаться к преподавателям курса: Андрей Рябичев: ryabichev@179.ru, https://t.me/ryabichev179 Блудов Михаил: bludov.mv@phystech.edu, michaelbludov@gmail.com, https://t.me/MikhailBludov